1). Pengertian Kaidah Pencacahan (Caunting Slots)
Kaidah
pencacahan atau Caunting Slots adalah suatu kaidah yang digunakan untuk
menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu
peristiwa. Kaidah pencacahan terdiri atas :
a.
Pengisian tempat yang tersedia (Filling Slots),
b.
Permutasi, dan
c.
Kombinasi.
Apabila
suatu peristiwa pertama dapat dikerjakan dengan k1 cara yang berbeda, peristiwa
kedua dapat dikerjakan dengan k2 yang berbeda dan seterusnya sampai peristiwa
ke-n, maka banyaknya cara yang berbeda dari semua peristiwa tersebut adalah K,
di mana : K = k1 x k2 x . . . x kn K sering disebut dengan istilah
banyaknya tempat yang tersedia dengan aturan perkalian atau Kaidah perkalian.
Untuk menentukan banyaknya tempat yang tersedia selain menggunakan aturan
perkalian, juga menggunakan diagram pohon, tabel silang, dan pasangan berurutan
Contoh 1 Misalkan ada dua celana berwarna hitam dan biru serta empat baju
berwarna kuning, merah, putih, dan ungu. Ada berapa banyak pasangan warna celana
dan baju yang dapat dibentuk?
Jawab:
Dari masalah di atas dapat diselesaikan dengan kaidah pencacahan, banyak cara
yang mungkin terjadi dari peristiwa tersebut dapat ditentukan dengan
menggunakan metode berikut ini:
Dari
tabel silang dan diagram pohon di atas tampak ada 8 macam pasangan warna celana
dan baju yang dapat dibentuk, yaitu : (h,k,), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k),
(b,m), (b,p), dan (b,u),
Dengan Pasangan Terurut
Misalkan
himpunan warna celana dinyatakan dengan A = {h,b} dan himpunan warna baju
dinyatakan B = {k,m,p,u}. Himpunan pasangan terurut dari himpunan A dan
himpunan B dapat ditulis {(h,k), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p),
(b,u)}. Banyak unsur dalam himpunan pasangan terurut ada 8 macam warna.
Contoh
2
Misalkan
dari Semarang ke Bandung ada dua jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan.
Berapa banyak jalan yang dapat ditempuh untuk bepergian dari Semarang ke
Jakarta melalui Bandung?
Jawab:
Dari Semarang ke Bandung ada 2 jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan.
Jadi, seluruhnya ada 2 x 3 = 6 jalan yang dapat ditempuh.
Contoh
3
Dari
lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 hendak disusun suatu bilangan yang terdiri
atas 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun apabila angka-angka itu
tidak boleh berulang?
Jawab:
Angka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dari 4 angka yaitu 1, 2, 3, dan 4.
Misalnya terpilih angka 1. Karena angka-angka itu tidak boleh berulang, maka
angka kedua (sebagai ratusan) dapat dipilih dari 4 angka, yaitu 0, 2, 3 dan 4.
Misalnya terpilih angka 0. Angka ketiga (sebagai puluhan) dapat dipilih dari 3
angka, yaitu 2, 3, dan 4. Misalkan yang terpilih angka 2. Angka keempat
(sebagai satuan) dapat dipilih dari 2 angka, yaitu 3, dan 4. Jadi, seluruhnya
ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan yang dapat disusun dengan angka-angka yang
tidak boleh berulang.
Contoh
4 Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 7 akan dibentuk bilangan dengan 4
angka dan tidak boleh ada angka yang diulang.
a.
Berapa banyak bilangan dapat dibentuk?
b.
Berapa banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk?
c.
Berapa banyak bilangan yang nilainya kurang dari 5.000 yang dapat dibentuk?
d.
Berapa banyak bilangan genap dan lebih besar dari 2.000 yang dapat dibentuk?
Jawab:
a.
Angka ribuan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan
terpilih angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 0, 2, 3, 4, 5,
dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0,
3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka satuan ada 4 angka yang
mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan yang dapat dibentuk = 6 x
6 x 5 x 4 = 720 angka.
b.
Bilangan ganjil apabila angka satuannya merupakan angka ganjil. Angka satuan
ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 1.
Angka ribuan ada 5 angka yang mungkin yaitu 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan
terpilih angka 2. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 3, 4, 5, dan
7. Misalkan terpilih angka 3. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin yaitu 0,
4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk = 4 x 5 x 5 x 4 =
400 angka.
c.
Bilangan yang kurang dari 5.000, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin,
yaitu 1, 2, 3, dan 4. Misalkan terpilih angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang
mungkin yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5
angka yang mungkin yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka
satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan
dapat dibentuk = 4 x 6 x 5 x 4 = 480 angka.
d.
Bilangan genap apabila satuannya merupakan angka genap, yaitu 0, 2 atau 4.
Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 0, maka: Angka ribuan ada 4
angka yang mungkin, yaitu 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka
ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka
2. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 4, 5, dan 7. Bilangan lebih
besar dari 2.000 dan angka satuannya 2, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang
mungkin, yaitu 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka ratusan ada 5
angka yang mungkin, yaitu 0, 1, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 0. Angka
puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 4, 5, dan 7. Bilangan lebih besar
dari 2.000 dan angka satuannya 4, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin,
yaitu 2, 3, 5, dan 7. Misal terpilih angka 3. Angka ratusan ada 5 angka yang
mungkin, yaitu 0, 1, 2, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 0. Angka puluhan ada
4 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan genap dan
lebih besar dari 2.000 yang dapat dibentuk adalah = (4 x 5 x 4) + (4 x 5 x 4) +
(4 x 5 x 4) = 240 angka. 3). Pengertian dan Notasi Faktorial n faktorial adalah
hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n. Notasi dari n
faktorial dilambangkan dengan n ! (dibaca : “n faktorial”)
n
faktorial adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n.
Notasi
dari n faktorial dilambangkan dengan n ! (dibaca : “n faktorial”)
n ! = 1 . 2 . 3 . . . (n – 2) . (n – 1).
n
Contoh 5 Tentukanlah nilai dari 0! Jawab: Dari definisi faktorial :
n ! = 1 . 2 . 3 .…. (n – 2) . (n – 1) . n . . . 1), (n – 1) ! = 1 . 2
. 3 .…. (n – 2) . (n – 1) . . . 2).
Jika
persamaan 2) kita substitusikan ke persamaan 1), maka akan diperoleh: n !
= (n – 1) ! . n atau n = (n 1)! n! .
Jika
n = 1 maka akan diperoleh kesamaan: 1 = (1 1)! 1! atau 1 = 0! 1! ,
Jadi, 0! = 1! = 1
